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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 qn9gXY`E  
 L B<hn  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. d_3kT{z  
pHU0h:~TX  
　　1、三角函数本质： QeD~|g  
a*?yRgr  
　　三角函数的本质来源于定义 ~z=.r<Ul  
BHvV@Rsk  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Lm\8- >;.  
KgB#2@bO  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ::%_W)7  
"6+HgSOx>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： >6\9q!  
,y02`JG  
　　推导： XQ0Jd  
` $:i 0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 1 2Wy"qr  
4(pUseb3  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "^Et-l 0  
fS4PkOKbt  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) P"z9jMQ9  
8P8r|qi  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;*] \t',mj  
^Z C?  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )#e..+A5  
=L[?&"s  
　　[1] wBXH+9c9R  
4by.YRHl  
　　两角和公式 hMl$Nef+>  
cV9 %R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB THnJ+n"  
Yq|MI)va4  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $ZC*5m 7  
9@FQCaf8  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB yq6mfF@H]  
DgpBn*"fl  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB (*lBQH  
q7 y-L  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !!; z  
 s,%: va  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]MI'kKovd  
7{)1}=a<  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  u1/A t  
n2xW_ h{  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 0 >>gjdd{  
;F}\+*Iu  
倍角公式 9js\F vRl  
i WS*|Th>2  
　　Sin2A=2SinA•CosA EgWY :#  
$KQF!fHXE  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 _YL3q '>  
a%3.OHC@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） O3#CD| *  
y  Xjmp  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 'c$X$Cr]  
XY{l`q  
三倍角公式 r JU&  
i$V?7hdEi  
　　 XUxI}"FrbK  
$.\VzI@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) {q8I|Y]  
{|Jdz+RJ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n^n*M <i  
]-j7V\;p  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) K9 Z e,  
&}maF?!6  
三倍角公式推导 % o?BcD*  
b\a*}T}~  
　　sin3a HoB\OGa6  
tR;mKFvq <  
　　=sin(2a+a) MN>Y |  
Nh/B;?jj_  
　　=sin2acosa+cos2asina gdO,9!oo  
AIb1t I1><  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina nO8 /hty  
7I5,O  
　　=3sina-4sin³a {K=qT  
rse7a0:P)  
　　cos3a GRH/kjdu4R  
{lRw ,3:p  
　　=cos(2a+a) =t1Q#z*E  
C2 lw*8w  
　　=cos2acosa-sin2asina (@Lu,Lo|  
jGP iM  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !V\%X=A >  
lpg_+f #I  
　　=4cos³a-3cosa 56^#[u  
_H?u-  
　　sin3a=3sina-4sin³a X?>?jmkY  
y+,{M  
　　=4sina(3/4-sin²a) eNg@%2Q  
S5eG~L  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @I"w}c/  
&WGP\s-}y  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `<rw+Uuz  
NqOyO@'@w  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) `}X\gKW3  
"AaT_sv  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] * 8(Nu^#X  
]GBDWc%  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) #<X6fNT(E  
v{F cusX  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ~r-0d/1/  
;XxY5eD  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ?1\AHh~h  
7GFRoVPXr  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 5wX&Q+  
S"? doq  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9hDkozH  
3 V% XXm:  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) `>W3oxS  
azL  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} -Q,&Qs  
w #iQ='  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) FD`:wm@  
?Uzdi9qy  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =yNW}p5HT  
>dnMX~N'Sj  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] x8>d+R9  
8uS0 O  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) lPvrq"aqB  
63 D@?  
　　上述两式相比可得 b?#*vk  
^7a=w_L5  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]x4mE`U:s  
]F12)X"d  
半角公式 & A+M'M  
}s6*>@]  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .O34.!s)  
fUlMA 2F  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. L<eCrcGF  
K JjyM<(,  
和差化积 ~4SYTgzJ  
`GJIM D  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] R{7z@|^O  
0 LO30jT  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^HE$c  
KWXowv5  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] F`O(WO^  
@\J^5=i  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] BILXzoR  
-HMhIM8  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) O~br2=VTd  
T}z~NG+H  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Z8g' {1  
M _'{wMh  
积化和差 24r-2\7X5  
W'"k R  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] G)^@E[u!dF  
r69U{j1i  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] KJXW+:C^o  
6lrOl_B<  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Y 0UX$*  
zyE1(<7:_  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] G(]h]M{3i  
f8 0qk>  
诱导公式 xH#u=z3  
8M(<!@xy  
　　sin(-α) = -sinα j2z$B%.  
j;Drt?bww  
　　cos(-α) = cosα Fl__j3G  
vn ^p5*|{  
　　sin(π/2-α) = cosα gW#Q3/ Ae  
|vXS.l*:s  
　　cos(π/2-α) = sinα +[V2eTN  
^GWH z1  
　　sin(π/2+α) = cosα jdRSVvAJ  
\dbTNpX  
　　cos(π/2+α) = -sinα ? hskjOB  
&V[iY-;b1  
　　sin(π-α) = sinα F|qxDG0yB  
1e'y#amq3  
　　cos(π-α) = -cosα !.xcKK~  
jt, 2   
　　sin(π+α) = -sinα wi# 3 W  
z4uaik#  
　　cos(π+α) = -cosα 6/2,#9d?>  
10/T('i]s  
　　tanA= sinA/cosA y57XJDRV  
|T9s]~%K  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα x*I{qH`kx  
Zqi Ghk)  
　　tan（π/2－α）＝cotα q/-0[oG  
8@#9/w>@\>  
　　tan（π－α）＝－tanα ,WtNuRN9s  
s:*Ji;1sR  
　　tan（π＋α）＝tanα Qa/.$!vrA  
:8hWO|[^  
万能公式 m kF(E  
!nZ c PF  
　　 e~!O%vw" ^  
0B4j?eVX1?  
其它公式 JEnemFu}D  
OYdnPK1%  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 iJxm`21@_  
?>$,_~;l  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 M?eXJK$  
[:GD=h  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Bs}506v3B  
 2q.Q^Rb  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >%OFN,JQY2  
c<XDc6A1  
　　对于任意非直角三角形,总有 mDIh_PN  
!V )Ez,aK  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC rKVqU!  
+L/t1vA  
　　证: 76FTO@s p  
yH6iR33"  
　　A+B=π-C T\2ATWC  
ZDk"_,JY  
　　tan(A+B)=tan(π-C) |?3F1o  
>~Jr<:[%  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  V`;o%4  
5QH/:jdS  
　　整理可得 0=YmeV4n  
@vB?g N  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC IMe%c?\hE  
&`8vP2%  
　　得证 &x/KS/n^  
`$ @gi;d  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 E=Uf7nQP@  
rcxfi6'a  
其他非重点三角函数 =:vL'Gs   
up E!xd  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~ug;VX(  
`Dwc`Zk=  
　　sec(a) = 1/cos(a) h:j_xVI  
2NS m9j  
　　 4HbyU!D,  
3EDF_+DY\  
双曲函数 %`+Cxy;f  
{:5#]uT?i6  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 0Aiu>P  
F8kW@27  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 %rky<`gL}V  
@,yMD  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ^F0+vd^[  
`1rf<_  
　　公式一： zMP .$>,  
r 7\Yi5n#  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： AUWf>-M(3  
x!mm39=z%  
　　sin（2kπ＋α）= sinα q ?:RR}S"  
Sc~M}<2W  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +YY\H$c]  
NXLYp |"  
　　tan（kπ＋α）= tanα K8`)1W9  
6;r7e%  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]IMKm1d  
uU9p08 u  
　　公式二： (=3!u %  
7g-*E  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： O$&)oV:ko  
-2hb6b_ w  
　　sin（π＋α）= -sinα ,kM:E?F:^  
i\x~ #( #  
　　cos（π＋α）= -cosα V* \v.  
Q ~YK\3PcV  
　　tan（π＋α）= tanα DApspLb~3  
wQHgvDTr6  
　　cot（π＋α）= cotα lE?|C[w  
d>W/z  
　　公式三： ',TrBY:f  
: y LmFO  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： _'gd\K(F6  
]z A= ctm  
　　sin（-α）= -sinα JlYoi+tuM)  
"%"@da]b  
　　cos（-α）= cosα j,Qz-t6  
cbec faq  
　　tan（-α）= -tanα A(t7u{}4  
=[CjdRMGv  
　　cot（-α）= -cotα {2"Ps+Wh  
!G-W\:%  
　　公式四： U+uPM?0  
1j: }e8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： \#^^-V  
gaG$!Q-"  
　　sin（π-α）= sinα zv_ua:  
Fl2.sje|#  
　　cos（π-α）= -cosα Jmg#]KN Oi  
)x0m^@~-L  
　　tan（π-α）= -tanα rW&hb   
iw|sD ]t  
　　cot（π-α）= -cotα { <gSS)aEy  
(8p{WJ  
　　公式五： *z>{MBS  
cHg|K?^  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： G7t9DX  
q*`G;?'CpG  
　　sin（2π-α）= -sinα Ip< m-$ t  
mx} FvpW  
　　cos（2π-α）= cosα >|X:c! Z (  
\M9 kXBX1<  
　　tan（2π-α）= -tanα lr[PhCH  
*3B}pu  
　　cot（2π-α）= -cotα z<?[NIjA  
9-zL'\  
　　公式六： !Ihwwz=a  
9{1I]RI7  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： oG)wV:Xs%  
*T"9pcn|La  
　　sin（π/2+α）= cosα x<!Bu zjx  
Idd$ ]*  
　　cos（π/2+α）= -sinα 45Htjlwb  
Z+ZuR*NiUN  
　　tan（π/2+α）= -cotα s~#U3   
g(8(d'u)  
　　cot（π/2+α）= -tanα &:QR ~Y4  
5jf/'+B5AX  
　　sin（π/2-α）= cosα AT"~4WE  
<`PHV{r  
　　cos（π/2-α）= sinα *:o=MU a  
X=QkE7?  
　　tan（π/2-α）= cotα 8gx {mkW0  
u)O D\q  
　　cot（π/2-α）= tanα v"$SH}  
%rImov  
　　sin（3π/2+α）= -cosα O*R !fK{O  
#*N4D9  
　　cos（3π/2+α）= sinα jt^@`0DD]  
j@a=Dv  
　　tan（3π/2+α）= -cotα W/\'"A,f  
C79g+*gG  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ax\V}kN,l  
1+{.pk\  
　　sin（3π/2-α）= -cosα $1xe'c }  
MU]|d *+<  
　　cos（3π/2-α）= -sinα f\b/=3,1  
`c+9pd`I  
　　tan（3π/2-α）= cotα IQd[y5 \u  
'1]5=U)8  
　　cot（3π/2-α）= tanα Ej;>kZJ<t  
#c MR6>  
　　(以上k∈Z) c}c429  
 lk (  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 B'Hh>0  
# T'MT  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = j,o7uXD2  
49=yfKo  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } :Dx)DM7X  
(=Gq}+c$u\  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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