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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 7<m~y#"V  
]s5yuc  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. YS)"T1yse  
U&t|WjAa =  
　　1、三角函数本质： HMb(v &1  
'm>d}JXJ#  
　　三角函数的本质来源于定义 35BNm-kN!  
(u/I#Fc  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :HyPzXKzn  
L)"]`FU7w  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 kij8NM`  
-]u"0L)  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： / B$C8u  
): eH,-\  
　　推导： nyb_({Oh  
]e _q L  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 dj\%B3[i  
b2S% uG  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) i:PMSn H  
RmMJ"0z s  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) >n#tV^  
|)J9  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 VG>Fk5x  
V^m6|qS  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #v|VARzB  
6aFUY2  
　　[1] [}'(!  
ez 0GwL)l  
　　两角和公式 c=kzt1xpE  
ukK@FcV[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Gcgc{H*&  
+4~{9Np  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >qy<5f*E  
}j!VQ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB zM2ZNAM  
t{!CpEA  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 2 +M9N  
XPqqXI6>  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) E @=-\E*  
pG/owRMr/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) c}] 86~  
|] ~Oe&`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  RL'"hkN\  
r |*~a&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 2nt{;  
;\hq<Wl  
倍角公式 ;FaF"cU  
[p{Z my"  
　　Sin2A=2SinA•CosA  2{B?&}0  
F-l JH  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Q{nx2@H4F\  
6VYR4  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） /#}~"x^Th  
U{ESiW u  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） US8?/W  
S8zVW c"  
三倍角公式 [/7K!-;&  
.q ! `9?K  
　　 K<$@>.Q  
qWD6 k?%  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) sQSl  
o:`BRj  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5w$f(h y o  
mYyOc5Q=<  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) (.w*idFTz  
=B;p22b$%|  
三倍角公式推导 a ThU9gvk-  
v9>VGK7iZd  
　　sin3a u#Q>W H  
40;` @-AnC  
　　=sin(2a+a) t66R"k[=  
(@ BzLh  
　　=sin2acosa+cos2asina ~C rH&Fg  
6BkJ}Yz  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ~Qc%xm"|  
.~hv\'[?  
　　=3sina-4sin³a W3v=Cq;  
&oaNeiP$)  
　　cos3a "I\T}J,N  
dnL3*H0}  
　　=cos(2a+a) Zf8l@b%)s7  
=i} -LDR  
　　=cos2acosa-sin2asina Vk}E\}fr  
{jr Q]3  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa __{#]"n+<  
3)x+^<_  
　　=4cos³a-3cosa Y? (Tvp S  
Vl zo C  
　　sin3a=3sina-4sin³a tYrz"P,>  
pxeD]zd  
　　=4sina(3/4-sin²a) Bobl+Y)h  
]-~`&^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] /A_II@aG  
Vp~>jzbCV  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) oe-M<OJ5  
X<]':1Se  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) "eI^Zn  
eY[GY|Il  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1CV^F#4  
]_8sZz M  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) @ xN`h&  
ji_\3&`Mp  
　　cos3a=4cos³a-3cosa a$FhBHq5  
#cWtTv'fR  
　　=4cosa(cos²a-3/4) e7,aU5. $  
j|EMd  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] G04f/Kp5Km  
:guVjX!'Xm  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) f(8Bc&<a  
UfJe2T]n  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]4867Z6rm  
r .qvw$.  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} `Ya8l#ry  
u$+]t `9  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) r:F$E\<  
stf(qkTRHz  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] bkgJk#e h  
@:Cfa*bq  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8 z%xSwl1v  
kl wA*s  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) AI#40N8  
@-pL_zHQO4  
　　上述两式相比可得 dcBT^y<? V  
}!cq)c(7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |.`CW6O  
faz=UGJ.  
半角公式 <C:Mqrrc  
(0LX^uf\A  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); u]16*5#  
v@!!e\LN  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !jm4(SH  
c"{(}9,K  
和差化积 [zBR%c  
`g8I]&P  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /CNYQh{PrZ  
|NPH&~(Z 7  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?s{0tVm  
v(/S@Fea  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ZOB H*M6  
rV8zv3j  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uvZYiY  
,lP Hv  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Kq`O!T?  
Z m r8 1  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) KeL?F&mC  
|aN.Y  
积化和差 %1leZ l  
4Uo.'NlV  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ]Y 69.P  
6C MTM!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] "4h:>   
{% 0XLT(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Xn7|fM1Hz  
Q]pqE~aI  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 7`X`B!mE  
UT M)+m  
诱导公式 M.4c|to  
&i6B &h(  
　　sin(-α) = -sinα cmMnu~7Y  
^ad  
　　cos(-α) = cosα TwPJCgCZ(  
f"KP{ "Y  
　　sin(π/2-α) = cosα tC+a!"#  
qw6$k,[f  
　　cos(π/2-α) = sinα &? AWM\ P<  
`h#in6a  
　　sin(π/2+α) = cosα obKnKz<<  
:9 }a.@'[D  
　　cos(π/2+α) = -sinα :K"l.$Y  
l{/[_W{$U  
　　sin(π-α) = sinα !Cf##!6  
OgV0j~q  
　　cos(π-α) = -cosα GI^u7  
i>$^Oe  
　　sin(π+α) = -sinα  $zO&rn  
^4t67nql  
　　cos(π+α) = -cosα wz{& FlE#K  
c+\Ao5,  
　　tanA= sinA/cosA |bN6j  
;>"{P$+}5  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα "]KO4,Suo  
?q v(QV/  
　　tan（π/2－α）＝cotα h: =//  
^ @N<$U`  
　　tan（π－α）＝－tanα eAG<eyD  
x`8 p~!Q  
　　tan（π＋α）＝tanα j=Nit9f  
M?^.Sp  
万能公式 D^[+o-e6_  
JE s}z qb  
　　 ^&9y]e36  
+j?Lon1  
其它公式 #me0^  
8(7^m "d+  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 n&kS*~  
$JWHG$<ri  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 VtMT@Xy  
=z 3sW  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 {XDlUDj  
LV&{u&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 rw yUX`iU_  
0`-1E$H  
　　对于任意非直角三角形,总有 ZQ B(Cqxm  
j#i!6OP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %& e)nj:/  
/aMuE2+z  
　　证: YxpDx%\3  
o-kQQ54^  
　　A+B=π-C A:]*TexC/  
!}.gp5o3  
　　tan(A+B)=tan(π-C) azC}#l  
jg<Zt@(  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Y&Wi*QmZ  
C%Sc]|o  
　　整理可得 P#v'j~M'wP  
pN?,L{$w)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,%k=W*  
#NuGFRtM7  
　　得证 M~2#6*+y(c  
L:Rid%  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 fS|U}"7<J  
YWrH]e(5  
其他非重点三角函数 A )~U=  
'<K_e.U{/  
　　csc(a) = 1/sin(a) AnQ {3g6[  
@s@-7P  
　　sec(a) = 1/cos(a) eK YsUSg  
`WAPH hj>O  
　　 ?tA __Xz  
AN@q[#msT  
双曲函数 fLp[,  
_1dk@  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 \+i6'm  
VAb(  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0aQ_WMh_<  
_%&HDUS  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) -OLK$B!L}  
2wV& &<Mh  
　　公式一： xb(<AmEn"  
 h\L%|c  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： QPYfaR  
r0sW $i  
　　sin（2kπ＋α）= sinα $y+ oTj(  
/BqEm  
　　cos（2kπ＋α）= cosα CVH"7^cM=%  
"$T[ c*  
　　tan（kπ＋α）= tanα Fd{#7v  
Ce  <\"  
　　cot（kπ＋α）= cotα %xHxaA  
Gzn(X`l  
　　公式二： z.Oh]  
Mp_5u,zj  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [Y5~?N_c  
#q`TQ7  
　　sin（π＋α）= -sinα |v*u{*  
>i7u(b4)  
　　cos（π＋α）= -cosα ncKFoB$IKt  
]) ~?[  
　　tan（π＋α）= tanα XJC'A~, x  
o85<=A}  
　　cot（π＋α）= cotα knar!rc  
!1y{l7 D   
　　公式三： $g{Ezq[C3  
^UEh1mW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： W~Cq{Z  
Z~21<z  
　　sin（-α）= -sinα LA4l"?{_N  
ot^8G@eqz  
　　cos（-α）= cosα Q/O7.kW-/  
~raO1@E  
　　tan（-α）= -tanα QSny qPv  
(Uyx}=B  
　　cot（-α）= -cotα '93zp-7ET  
efS.48d28  
　　公式四： qeye.QR0^  
-w*~LZS  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： r-57 E}`u  
}a7! igm  
　　sin（π-α）= sinα  (1l`JH  
5A{U;f0&  
　　cos（π-α）= -cosα ofi FQe  
0DDZZ=5  
　　tan（π-α）= -tanα |)g^;  
uol=m^e^B  
　　cot（π-α）= -cotα O%1A}5 l  
w@<8* B  
　　公式五： $D~K f*  
W/e7' #  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： OSVN%j  
 E1 ?h  
　　sin（2π-α）= -sinα CA"v7|Z  
vfhH@$ht#  
　　cos（2π-α）= cosα ?!Xk'jQ.  
QgO?[4(S  
　　tan（2π-α）= -tanα ZGQ#lg  
,~erb$S:M  
　　cot（2π-α）= -cotα 04: #LY  
t(DVZ vW  
　　公式六： ]H"g2wM:  
t" 7Fn+ai  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： N>nwn &4>  
>_/";J/-t  
　　sin（π/2+α）= cosα <~ O6t  
EL<ez D!c  
　　cos（π/2+α）= -sinα S< 6 }k`  
df+eeG(e<  
　　tan（π/2+α）= -cotα [HTQwe T  
!DDQ=UvFr  
　　cot（π/2+α）= -tanα QLa ))!VP  
-ep837u"  
　　sin（π/2-α）= cosα vhDIwd&  
T{1=ANdk  
　　cos（π/2-α）= sinα 0`cuOIB +  
V+/O]%_8-  
　　tan（π/2-α）= cotα tfrk\an  
\*B9D.!  
　　cot（π/2-α）= tanα UIS( yt.K  
s"}kq t  
　　sin（3π/2+α）= -cosα jplt.$&y  
M 9?t|d4  
　　cos（3π/2+α）= sinα S%,1uz >  
O/[I<M%e  
　　tan（3π/2+α）= -cotα dESVE +  
^C`eQ>jd  
　　cot（3π/2+α）= -tanα DB0NCwaD9e  
~8`I*F  
　　sin（3π/2-α）= -cosα poGZ  
(g7kdU}"  
　　cos（3π/2-α）= -sinα [1!Z_h~@  
fLa[5VL  
　　tan（3π/2-α）= cotα *:MHw/4  
: T4!Lf  
　　cot（3π/2-α）= tanα kweW)/C*  
/]O1]P  
　　(以上k∈Z) kE}G%>  
vc5v (\U  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~nz.r  
uT|!~  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = QC{5?dZ 3  
!m_|UMsSr  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } @,g]c$vC  
'N#Qi#7u  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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