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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #QRz}%}=kG  
xASl (g  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. n# wj_7A5  
dy03Gv<`  
　　1、三角函数本质： ! FOL;X4]  
bh2w rRyG  
　　三角函数的本质来源于定义 E$@.X/  
llc`wC%Ko  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ~\{\fyR  
v0%cv b.}Y  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 XHAD S`7Y  
\lyOnT[d  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ,LK;*_H  
F%;?Dad6e  
　　推导： M qyGP|a  
zr_KX5w+<  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 zcB'F]  
G8K?p7  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) gpsnSsf_N  
S3 J? q+pE  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) y)vVB1  
[GnV^O)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5U,1S#pH  
:{Oo}JkW  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） RM93]EM7N  
+4?^{e7f  
　　[1] +/VOPOb%/k  
m\PAL  
　　两角和公式 m?10^[_u  
\:R&:3Q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB +N)+f~hm  
Bgd B. j>6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `!BNs/I<  
vv}9~yLI  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB # D9x5y  
. *$|Y  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ,KE!.Jfi  
59w9.r{  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 6m(-&P  
[h@'OIGOK  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) WazMm]n  
Ep3+GoEE  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  EEc,4*:;  
hK0d&Gf*`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) yA\"5qy4(  
VgCvj{w}{  
倍角公式 HpM\O9F@  
old6gP  
　　Sin2A=2SinA•CosA $`6I|F0m  
iVNrCN  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 v`,]zwX-~  
 hrDY  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >nrsp38,Hy  
;K=Z8^;>(A  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） -2HU!zR*  
^Of8in!  
三倍角公式 IpH   
u*|n'MC  
　　 rgx bn  
~MWM""W8  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ))^(p #k0  
!7Z .;]  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 7iv~iE  
3-/T65vr~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) A?CavfA  
e<V ^rJ%i  
三倍角公式推导 bkhnB=fbP'  
~o/=vZH,Ts  
　　sin3a sE[o 1,5G  
KO34_~L"  
　　=sin(2a+a) V!qjfD}c=  
G?s9'T9  
　　=sin2acosa+cos2asina PgOE Qg?  
e3)3@3i  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina uBBB;L!2  
zsFZ8B\N  
　　=3sina-4sin³a ;PowXy  
J@uo{  
　　cos3a I&23h@\%r  
5 FO'HaG  
　　=cos(2a+a) Ln20ZDe  
|#)kFoG?  
　　=cos2acosa-sin2asina >UJ{K&u+F  
_Y#v}yT7  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 3qq/T}P  
W#Q{$o  
　　=4cos³a-3cosa 4k (1_UXe  
aKPbX<R=  
　　sin3a=3sina-4sin³a *B,=YWVg/  
a'cv|d8M[  
　　=4sina(3/4-sin²a) _\beF@EL-  
T2{t}  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] k`"u&%L }  
Rs#)B=  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 4*+ @  
Tmzp"QKHCC  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) kW=aLSf%  
T UZ"/  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] R9i[9Hzl:  
69X k{  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) s5(`'RD9z  
 $\k  
　　cos3a=4cos³a-3cosa pbKI7rMW  
Z4) 1U701  
　　=4cosa(cos²a-3/4) *P8"jS/0x  
@tbX~fA  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] {7~fb%j  
JMTHv*}:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) '7$9,#  
H*(D$bAH  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) u-hV>b  
_;9ae?&=U  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @@t9L%O  
|XAErE/H  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 0DOorZ8e`  
MVc BttS  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] N}mR"bHSk  
Z<fmeNnT1  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Htq5=}fx  
B AF?{r  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ;3r7EZZ[r  
=Kn;7;,fn  
　　上述两式相比可得 .yFaOj$W  
w%/I2m:#  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?1f!s  
{z`d,  
半角公式 nWZ @dz B  
(SA3k  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); JxeH_XtA\  
8Qzq{(7cW  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.  ><xw~qKd  
6z<jwl2  
和差化积 ~8iq ~t7  
 R yM>'C  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \5*H+myBu  
Mf{?1@tq  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &#WQcj  
FYl.+r h0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] R{AhB:_$  
#\Xp H?G3  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OOd >bi  
p&fA]CW  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) n^VUYS2?.  
+iqgNh[G;  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }Red T}  
)#\vTU;'  
积化和差 < eT0-'  
Pj}.h:Uk  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] d=` o+  
rxM$5+_~  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] /eP<"G/(  
v  5Hn  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #}+IgX&  
Eq EUKpX(  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] exXD!P"  
En u#{g  
诱导公式 ZrTQ}  
zA(WOh2J  
　　sin(-α) = -sinα s3i v>.  
fE7 )=IBT  
　　cos(-α) = cosα d{kOj  
=MB7o~D?SP  
　　sin(π/2-α) = cosα 9`Kp"G1x  
JpAWXe)  
　　cos(π/2-α) = sinα  8.BFb  
0Re,fL{  
　　sin(π/2+α) = cosα pR^aiDyG  
7O> I=k1  
　　cos(π/2+α) = -sinα 9k]@kU'I  
jh +062!R/  
　　sin(π-α) = sinα V =JhW  
#B7s)r\%%r  
　　cos(π-α) = -cosα mN9M@R  
'\TFbBC  
　　sin(π+α) = -sinα Qakmu4  
ePy)GOM/`g  
　　cos(π+α) = -cosα @&s{qPJ  
IxTN7(A  
　　tanA= sinA/cosA y|MeP] d  
cf:"6e<V  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα *9|ZS  ,Z  
(>"XxLe9  
　　tan（π/2－α）＝cotα D-n<^79  
YXl H\>Ok  
　　tan（π－α）＝－tanα PC; JIeo  
39P&V5Jf  
　　tan（π＋α）＝tanα o[ W  
m}w:9f%}  
万能公式 O14ZIR#.7&  
EKrO`z  
　　 vS&K3{4  
( =+SQ <  
其它公式 \J6NQA=!a  
"H<nf P  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 z|RB0} Dl  
!j3EQU  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 & {#%  
1pcLze%>  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $j& s9Y+  
}rzW\]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 U`B5;y#v}  
X?Xnt+?  
　　对于任意非直角三角形,总有 Rd.nXx_   
LBI,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >x C2Z  
+0]DEgWo  
　　证: $P6Dx4\)  
,r~{"3c2t  
　　A+B=π-C d'F5_y%K-$  
G^SvUZ-6m  
　　tan(A+B)=tan(π-C) >pPY0tB(  
SF ~ctIEX  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ka*NSN  
I5NqpQ2]4  
　　整理可得 uuj(mdh  
A]~'2=@5#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3m$H_)L  
YE*@M7?<  
　　得证 N)u "  
]F9 MwVDH  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 LEXUnH`t~  
p L8W&|  
其他非重点三角函数 HiV~hi  
2>cyBIB  
　　csc(a) = 1/sin(a) B[ - Tq+  
*\ [9  
　　sec(a) = 1/cos(a) /a>(q( G  
2K(H$;  
　　 hkcUgYs  
]XU-PQ/[.  
双曲函数 ~+]&dcp`3  
xnTT/?Q<  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 M$7yZ .  
Ipm!R`  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 pu"KIGXQ  
ONM.#P \e  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) HW |i2f1  
?8c$7,4]O  
　　公式一： &-x}AefP  
r5TM{%  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： RS^&X$R  
 =Flt7o  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ){t3Iu  
? I b]  
　　cos（2kπ＋α）= cosα $T]iOWQL  
t>?o\?8B  
　　tan（kπ＋α）= tanα 1b>rBN BE  
Eay{q&  
　　cot（kπ＋α）= cotα @TM{   
Yz BM%  
　　公式二： ~cDeui  
ZCeK5t6A  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Hcs RJ|^l  
bZ,FaCaZ  
　　sin（π＋α）= -sinα IIG',+M=  
M'{n p_sC  
　　cos（π＋α）= -cosα #GHl$Xs=a  
kgc1 7.  
　　tan（π＋α）= tanα V)Kd^d^/  
6k{>S3  
　　cot（π＋α）= cotα (D\NcA!l  
C#$`{ k  
　　公式三： 7qQ5s)  
;/T6M!;qX/  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ",1Q ]  
B O'  
　　sin（-α）= -sinα <GEH_i h  
:N^~n4vp  
　　cos（-α）= cosα V85kOe  
=pyY0 "p,  
　　tan（-α）= -tanα OEnhHanw  
*d5ZyT5 ^  
　　cot（-α）= -cotα f<G?{KS5m  
AlD>BX  
　　公式四： Y6_I! +f.  
R")Jl;~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： x53S4.  
D+?!z!J;t  
　　sin（π-α）= sinα zwgQEI7Kp  
z`$I `?nT  
　　cos（π-α）= -cosα F9vgu#=7  
W"uv=z<  
　　tan（π-α）= -tanα XRim6bg y  
uuM-7f7]  
　　cot（π-α）= -cotα hF `  
`pd!=mS(  
　　公式五： 3-d4`|H  
|!o0*AP6S  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： %`6uy ~  
1)0UrWy+  
　　sin（2π-α）= -sinα ~FU!=O7]\  
{F9wgA]b  
　　cos（2π-α）= cosα mBYRB  
W2oX;GD^  
　　tan（2π-α）= -tanα @7;y;v8  
"=Yw)?UwW_  
　　cot（2π-α）= -cotα {~ c # n  
VTR:n+ Y  
　　公式六： $ nOGZ3  
<KLNT2z Pj  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *$V6e3m  
;0VlE*Hg  
　　sin（π/2+α）= cosα $I:-bZ&  
sP*+ 8  
　　cos（π/2+α）= -sinα 6IBZX@t"  
!Y+JoJc  
　　tan（π/2+α）= -cotα `>#)0F=7K  
~g;zy R  
　　cot（π/2+α）= -tanα lxSH ND  
VP6 $ xW  
　　sin（π/2-α）= cosα \BpUrSQda  
0 0mg^*nG  
　　cos（π/2-α）= sinα T!%QH$  
^F.J:x[ Z  
　　tan（π/2-α）= cotα 'Ip7z|l  
$EAYWnQ]  
　　cot（π/2-α）= tanα Rm~{z%(  
-2sBWv28  
　　sin（3π/2+α）= -cosα L~TJGwH>!  
!*IMVjH&  
　　cos（3π/2+α）= sinα wtHw{N  
[pj-Pqz  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 9;2gIABr4  
l;'#q| #[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα n ?r1y1;  
,Jh:{QUHL]  
　　sin（3π/2-α）= -cosα j7Y:"i  
^EBx`T/5Dh  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /\WvZ,&]  
5#:=*7f<  
　　tan（3π/2-α）= cotα B[J79VZi  
)v Y8+g>  
　　cot（3π/2-α）= tanα z+u4C`>C  
iIe= .I6  
　　(以上k∈Z) RnMDYE"t9  
c( I$e  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?('9Z3  
[AOA$q,!C  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 0'Ea!/m  
{p6.=_Z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } =_,+0P  
z .i#@@0x  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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